Question

已知0＜β＜

π

4

＜α＜

π

2

，cos（2α-β）=-

11

14

，sin（α-2β）=

4 3

7

，求sin

α+β

2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：半角的三角函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用三角恒等變換及其應(yīng)用，可求得sin（2α-β）=

5 3

14

，cos（α-2β）=

1

7

，利用兩角和的余弦可求得cos（α+β）=

1

2

，繼而可得α+β=

π

3

，于是可求得sin

α+β

2

=

1

2

．

解答： 解：∵0＜β＜

π

4

＜α＜

π

2

，∴

π

2

＜2α＜π，-

π

4

＜-β＜0，∴

π

4

＜2α-β＜π．
∵cos（2α-β）=-

11

14

，∴sin（2α-β）=

5 3

14

．
同理可得：-

π

4

＜α-2β＜

π

2

．又∵sin（α-2β）=

4 3

7

，∴cos（α-2β）=

1

7

．
∴cos（α+β）=cos[（2α-β）-（α-2β）]
=cos（2α-β）cos（α-2β）+sin（2α-β）sin（α-2β）
=（-

11

14

）×

1

7

+

5 3

14

×

4 3

7

=

1

2

，
∵

π

4

＜α+β＜

3π

4

，
∴α+β=

π

3

，∴sin

α+β

2

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換及其應(yīng)用，著重考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系及兩角和的余弦，角的范圍的確定是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．