Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4，－)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；

(3)在(2)的條件下，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

 (1)∵e＝，

∴可設(shè)雙曲線方程為x²－y²＝λ(λ≠0)，

∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，

∴雙曲線方程為－＝1.

(2)證明：法1：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，

∴c＝2，

∴F₁(－2，0)，F₂(2，0)，

∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，∴m²＝3，

∴kMF₁·kMF₂＝－1，∴MF₁⊥MF₂，即·＝0.

法2：∵＝(－2－3，－m)，

＝(2－3，－m)，

∴＝(－2－3)×(2－3)＋m²＝－3＋m²，

∵點(diǎn)M在雙曲線上，

∴9－m²＝6，即m²－3＝0，∴＝0.

(3)∵△F₁MF₂的底邊長(zhǎng)|F₁F₂|＝4，△F₁MF₂的高h＝|m|＝，

∴S△F₁MF₂＝6.