Question

動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心p的軌跡為曲線C，過F作曲線C兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M、N．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：直線MN必過定點；
（3）分別以AB、CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點H的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，可得點P到定點F的距離等于到定直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求曲線C的方程；
（2）求出M，N的坐標，可得直線MN的方程，即可得到結(jié)論；
（3）求出⊙M、⊙N的方程，兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程，進而證明公共弦所在直線過原點O，即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，
∴點P到定點F的距離等于到定直線x=-1的距離，
∴點P的軌跡為拋物線，曲線C的方程為y²=4x；
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），
代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

∴x_M=

k2+2

k2

，∴y_M=k（x_M-1）=

2

k

∴M（

k2+2

k2

，

2

k

）
∵AB⊥CD，∴將M坐標中的k換成-

1

k

，可得N（2k²+1，-2k）
∴直線MN的方程為y+2k=

-2k- 2 k

2k2+1- k2+2 k2

（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不論k為何值，直線MN必過定點T（3，0）．
（3）解：顯然，⊙M、⊙N都與拋物線相切，半徑分別為x_M+1，x_N+1，從而
⊙M：（x-x_M）²+（y-y_M）²=（x_M+1）²，
⊙N：（x-x_N）²+（y-y_N）²=（x_N+1）²，
兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程為（x_M-x_N）x+（y_M-y_N）y=

1

2

（y_M²-y_N²）-（x_M-x_N）
又

1

2

（y_M²-y_N²）-（x_M-x_N）=

1

2

(

4

k2

-4k2)-(

2

k2

-2k2)=0，
故公共弦所在直線過原點O．
∴∠OHT=

π

2

．
于是點H的軌跡方程是以OT為直徑的圓（除取直徑的兩個端點），其軌跡方程為(x-

3

2

)2+y2=

9

4

（y≠0）．

點評：本題主要考查拋物線的定義，考查直線恒過定點，考查圓與圓的位置關(guān)系，確定直線的方程是關(guān)鍵．