Question

【題目】已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)若，函數(shù)在處的切線方程為，求a、的值；

(2)若曲線上存在兩條互相平行的切線，其傾斜角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0＜a＜1.

【解析】

（1）對(duì)F′（x）＝lnx+x﹣ax2，由切點(diǎn)為（1，﹣1），斜率為﹣2，可得和F′（1）=-2，聯(lián)立解得a，b即可．

（2）令h（x）＝f′（x）＝lnx+x﹣ax2，（x＞0），h′（x）＝+1﹣2ax＝ ，令u（x）＝﹣2ax2+x+1，對(duì)a≤0和a＞0時(shí)兩種情況分別討論，即可求出．

(1)F(x)＝xln x－x＋x2－ax3＋b，F(xiàn)′(x)＝ln x＋x－ax2，∵切點(diǎn)為(1，－1)，切線斜率為k＝－2，∴∴a＝3，b＝.

所以

(2) f′（x）＝lnx+x﹣ax2，令h（x）＝f′（x）＝lnx+x﹣ax2，（x＞0），

h′（x）＝+1﹣2ax＝，

令u（x）＝﹣2ax2+x+1，

當(dāng)a≤0時(shí)，u（x）＞0，∴h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不適合題意，舍去．

當(dāng)a＞0時(shí)，u（x）的△＝1+8a＞0，設(shè)方程u（x）＝0的兩根分別為x1，x2，

∵x1x2＝﹣＜0，不妨設(shè)x1＜0＜x2，當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．

∴h（x）在x∈（0，x2）時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減．

∴，得到，

由①可得：代入②整理可得2lnx2+x2﹣1＞0③．

∵函數(shù)v（x）＝2lnx+x﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，v（1）＝0，

∴x2＞1，由①可得，

∵，∴0＜2a＜2，∴0＜a＜1．