Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率是 ，拋物線E：x2=2y的焦點(diǎn)F是C的一個頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是E上的動點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M．
①求證：點(diǎn)M在定直線上；
②直線l與y軸交于點(diǎn)G，記△PFG的面積為S1 ， △PDM的面積為S2 ， 求 的最大值及取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得e= = ，拋物線E：x2=2y的焦點(diǎn)F為（0， ），

即有b= ，a2﹣c2= ，

解得a=1，c= ，

可得橢圓的方程為x2+4y2=1；

（2）

解：①證明：設(shè)P（x0，y0），可得x02=2y0，

由y= x2的導(dǎo)數(shù)為y′=x，即有切線的斜率為x0，

則切線的方程為y﹣y0=x0（x﹣x0），

可化為y=x0x﹣y0，代入橢圓方程，

可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2= ，即有中點(diǎn)D（ ，﹣ ），

直線OD的方程為y=﹣ x，可令x=x0，可得y=﹣ ．

即有點(diǎn)M在定直線y=﹣ 上；

②直線l的方程為y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），

則S1= |FG||x0|= x0（ +y0）= x0（1+x02）；

S2= |PM||x0﹣ |= （y0+ ） = x0 ，

則 = ，

令1+2x02=t（t≥1），則 = = = =2+ ﹣ =﹣（ ﹣ ）2+ ，

則當(dāng)t=2，即x0= 時， 取得最大值 ，

此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）．

【解析】（I）運(yùn)用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓的a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）（i）設(shè)P（x0 ， y0），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得中點(diǎn)D的坐標(biāo)，求得OD的方程，再令x=x0 ， 可得y=﹣ ．進(jìn)而得到定直線；（ii）由直線l的方程為y=x0x﹣y0 ， 令x=0，可得G（0，﹣y0），運(yùn)用三角形的面積公式，可得S1= |FG||x0|= x0（ +y0），S2= |PM||x0﹣ |，化簡整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，進(jìn)而得到最大值及此時P的坐標(biāo)．
本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查直線和拋物線斜的條件，以及直線方程的運(yùn)用，考查三角形的面積的計算，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．