Question

已知函數(shù)f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1處取得極值c+2，a，b，c為常數(shù)，
（1）試確定a，b的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²lnx+ax²+3bx²，從而

f′(1)=a+3b=0 f(1)=b+c=c+2

，由此能求出a=-6，b=2；
（2）由（1）得f′（x）=-18x²lnx，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜c²恒成立的充要條件是f（x）_最大值＜c²，由此能求出c的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³lnx+bx³+c，
∴f′（x）=3ax²lnx+ax²+3bx²，
∵函數(shù)f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1處取得極值c+2，
∴

f′(1)=a+3b=0 f(1)=b+c=c+2

，
解得a=-6，b=2．
（2）由（1）得f′（x）=-18x²lnx，x＞0，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1，∴增區(qū)間為（0，1）；
由f′（x）＜0，得x＞1，∴減區(qū)間為（1，+∞）．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜c²恒成立的充要條件是f（x）_最大值＜c²，
由（2）知所以f（x）_最大值=f（1）＜c²
即c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2．
所以c的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查綜合分析、運(yùn)算能力，屬于難題．