Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出其通項；
（2）設(shè)f（n）=log 

1

2

a_n，記b_n=a_n+1•f（n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于點（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，n∈N^*．可得a_n+S_n-2=0，
利用“當(dāng)n=1時，2a₁-2=0，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”，再利用等比數(shù)列的定義及其通項公式即可證明．
（2）f（n）=log 

1

2

a_n=n-1．可得b_n=a_n+1•f（n+1）=(

1

2

)n•n=

n

2n

，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 證明：（1）∵點（a_n，S_n）在直線x+y-2=0上，n∈N^*．∴a_n+S_n-2=0，
當(dāng)n=1時，2a₁-2=0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，a_n+S_n-2=0，a_n-1+S_n-1-2=0，
∴a_n-a_n-1+a_n=0，∴

an

an-1

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項為1，公比為

1

2

．
∴a_n=1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1．
（2）解：f（n）=log 

1

2

a_n=n-1．
∴b_n=a_n+1•f（n+1）=(

1

2

)n•n=

n

2n

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
兩式相減可得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．