Question

四面體ABCD中，∠ACB=30°，∠DCB=45°，∠ACD=60°，設二面角A-BC-D的平面角為α，則cosα=

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：由題意，作AO⊥平面BCD，垂足為O，作OE⊥BC，交BC于E，連結AE，則∠AEO=α，由此利用余弦定理能求出cosα=

2

-

3

．

解答： 解：由題意，作AO⊥平面BCD，垂足為O，作OE⊥BC，交BC于E，連結AE，
則∠AEO=α，
∵DC的長度不影響∠α的大小，
∴使得E、O、D共線，
設AE=a，
=∠ACE=30°，∴AC=2a，EC=

3

a，
又∵∠DCE=45°，DE⊥BC，
∴DE=

3

a，DC=

6

a，
又∵∠ACD=60°，
∴cos∠ACD=

AC2+CD2-AD2

2AC•CD

=

4a2+6a2-AD2

2×2a× 6 a

=

1

2

，
解得AD²=（10-2

6

）a²，
∴cos∠AED=

AE2+ED2-AD2

2AE•ED

=

a2+3a2-(10-2 6 )a2

2 3 a2

=

2

-

3

．
∴cosα=

2

-

3

．
故答案為：

2

-

3

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意余弦定理的合理運用．