Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-sinx（

3

sinx-cosx）+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求f（x）的最大值，單調(diào)區(qū)間．
（3）若f（x）的圖象向x軸正方向平移m個(gè)單位后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)兩角差的余弦公式、倍角公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由x的范圍求出2x+

π

3

的范圍，再由正弦函數(shù)的求出此函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間；
（3）由余弦函數(shù)是偶函數(shù)、誘導(dǎo)公式得：2m+

π

3

=

π

2

+kπ(k∈Z)，求出m的表達(dá)式，由范圍求出m的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-sinx（

3

sinx-cosx）+2
=2cosx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-

3

sin²x+sinxcosx+2
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx+2
=

3

cos2x+sin2x+2=2sin(2x+

π

3

)+2，
所以f（x）的最小正周期是π；
（2）由x∈[0，

π

2

]得，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的取得最大值是4，
由2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]得，x∈[0，

π

12

]，
由2x+

π

3

∈(

π

2

，

4π

3

]得，x∈（

π

12

，

π

2

]，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間是[0，

π

12

]，減區(qū)間（

π

12

，

π

2

]；
（3）因?yàn)閒（x）的圖象向x軸正方向平移m個(gè)單位后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
則令2m+

π

3

=

π

2

+kπ(k∈Z)得，m=

π

12

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以m的最小值是

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角差的余弦公式、倍角公式、兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．