Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐B-ACE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AC中點(diǎn)O，連接BO、DO，等邊三角形△ACD中，DO⊥AC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，得D0⊥平面ABC．再過E作EF⊥平面ABC，可以證出四邊形DEFO是平行四邊形，得DE∥OF，結(jié)合線面平行的判定定理，證出DE∥平面ABC；
（2）三棱錐E-ABC中，判斷出EF是平面ABC上的高，最后用錐體體積公式，即可得到三棱錐E-ABC的體積．

解答： 解：（1）取AC中點(diǎn)O，連接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
過E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根據(jù)題意，點(diǎn)F落在BO上，易求得EF=DO=

3

，
所以四邊形DEFO是平行四邊形，得DE∥OF，
∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，OD⊥AC，
∴OD⊥平面ACB；
又∵DO∥EF，∴EF⊥平面BAC，
∴三棱錐E-ABC的體積V₂=

1

3

×S_△ABC×EF=

1

3

×

3

4

×4=

3

3

．

點(diǎn)評：本題給出兩個三棱錐拼接成多面體，求證線面平行并且求它的分割的幾何體的體積，著重考查了面面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定和錐體體積公式等知識，屬于中檔題