Question

已知雙曲線C1：x2-

y2

4

=1，雙曲線C₂與雙曲線C₁有相同的漸近線且經(jīng)過點(diǎn)(

3

，2)
（1）求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x-1與雙曲線C₂的兩漸近線相交于A，B，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)與x2-

y2

4

=1有共同漸近線的雙曲線方程為x2-

y2

4

=λ，代入已知點(diǎn)可得λ，可得方程；
（2）先得雙曲線C₂的兩漸近線方程，聯(lián)立所給直線可得得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積的定義可得．

解答：解：（1）設(shè)與x2-

y2

4

=1有共同漸近線的雙曲線方程為x2-

y2

4

=λ，
把點(diǎn)(

3

，2)代入可得3-1=λ，即λ=2，
∴雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-

y2

4

=2，即

x2

2

-

y2

8

=1；
（2）可得雙曲線C₂的兩漸近線為：y=±

2 2

2

x=±2x
聯(lián)立

y=2x y=x-1

可解得

x=1 y=2

，同理聯(lián)立

y=-2x y=x-1

可解得

x= 1 3 y= 2 3

，
故可得點(diǎn)A、B分別為（1，2）（

1

3

，

2

3

），
故

OA

•

OB

=1×

1

3

+2×

2

3

=

5

3

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．