Question

已知雙曲線C₁：x2-

y2

3

=1，若拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點F到雙曲線C₁的漸近線的距離為

3

．
求：（1）C₂方程．
（2）若直線y=kx+b經(jīng)過點F，且與曲線C₁僅有一個公共點，求直線y=kx+b的方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的方程易求出雙曲線的漸近線方程，進而代入點到直線距離公式，求出p值，求出C₂方程．
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)直線與雙曲線只有一個交點，則方程有唯一的根，可求出k值，進而得到直線方程．

解答：解：（1）∵雙曲線C₁：x2-

y2

3

=1，
∴雙曲線C₁的漸近線方程為y=±

3

x，即±

3

x+y=0
∵拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點F（0，

p

2

）到雙曲線C₁的漸近線的距離為

3

∴

3

=

p 2

2

，解得p=4

3

∴C₂方程x²=8

3

y
（2）∵直線y=kx+b經(jīng)過點F，
∴b=2

3

即y=kx+2

3

…①
將方程代入雙曲線C₁：x2-

y2

3

=1得：(1-

k2

3

)x2-

4 3

3

kx+3=0…②
若直線與曲線C₁僅有一個公共點，則方程②有且只有一個解
故k=±

3

或△=

16

3

-12(1-

k2

3

 )=0
解得k=±

3

或k=±

15

3

直線的方程為y=

3

x+2

3

，y=-

3

x+2

3

，y=

15

3

x+2

3

或y=-

15

3

x+2

3

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的標準方程，熟練掌握圓錐曲線的標準方程及簡單幾何特征是解答的關(guān)鍵．