Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n•kⁿ（n∈N^*，0＜k＜1），給出下列命題：
①當(dāng)k=

1

2

時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列
②當(dāng)

1

2

＜k＜1時，數(shù)列{a_n}不一定有最大項
③當(dāng)0＜k＜

1

2

時，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列
④當(dāng)

k

1-k

為正整數(shù)時，數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項
請寫出正確的命題的序號

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由于

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

(n+1)k

n

，再根據(jù)k的條件討論即可得出．

解答： 解：①當(dāng)k=

1

2

時，an=n•(

1

2

)n，∴

an+1

an

=

(n+1)•( 1 2 )n+1

n•( 1 2 )n

=

n+1

2n

，當(dāng)n=1時，a₁=a₂，因此數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，故①不正確；
②當(dāng)

1

2

＜k＜1時，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

(n+1)k

n

，數(shù)列{a_n}不一定有最大項．
③當(dāng)0＜k＜

1

2

時，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

(n+1)k

n

＜

n+1

2n

≤1，∴a_n+1＜a_n．
因此數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，正確．
④當(dāng)

k

1-k

為正整數(shù)時，

an+1

an

=

(n+1)•kn+1

n•kn

=

(n+1)k

n

=1，因此數(shù)列{a_n}必有兩項相等的最大項，故正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．