Question

六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？

（1）甲不站兩端；

（2）甲、乙必須相鄰；

（3）甲、乙不相鄰；

（4）甲、乙之間間隔兩人；

（5）甲、乙站在兩端；

（6）甲不站左端，乙不站右端.

Answer 1

(1) 480(2)240 (3) 480（4）144（5）48（6）504

解析:

（1）方法一  要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有A種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站法：A·A=480（種）.

方法二  由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站，有A種站法，然后中間4人有A種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有站法：A·A=480（種）.

方法三  若對甲沒有限制條件共有A種站法，甲在兩端共有2A種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：A-2A=480（種）.

（2）方法一  先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，和其余4人進(jìn)行全排列有A種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有A種站法，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A·A=240（種）站法.

方法二  先把甲、乙以外的4個人作全排列，有A種站法，再在5個空檔中選出一個供甲、乙放入，有A種方法，最后讓甲、乙全排列，有A種方法，共有A·A·A=240（種）.

（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有A種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有A種站法，故共有站法為A·A=480（種）.

也可用“間接法”，6個人全排列有A種站法，由（2）知甲、乙相鄰有A·A=240種站法，所以不相鄰的站法有A-A·A=720-240=480（種）.

（4）方法一  先將甲、乙以外的4個人作全排列，有A種，然后將甲、乙按條件插入站隊，有3A種，故共有A·（3A）=144（種）站法.

方法二  先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有A種，然后把甲、乙及中間2人看作一個“大”元素與余下2人作全排列有A種方法，最后對甲、乙進(jìn)行排列，有A種方法，故共有A·A·A=144（種）站法.

（5）方法一  首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有A·A=48（種）站法.

方法二  首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有A種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有A種站法，由分步計數(shù)原理共有A·A=48（種）站法.

（6）方法一  甲在左端的站法有A種，乙在右端的站法有A種，且甲在左端而乙在右端的站法有A種，共有A-2A+A=504（種）站法.

方法二  以元素甲分類可分為兩類：①甲站右端有A種站法，②甲在中間4個位置之一，而乙不在右端有A·A·A 種，故共有A+A·A·A=504（種）站法.