Question

已知函數(shù)f（x）=[（2+a）x-1][（2-a）x-1]，其中a≥0．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0只有三個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分當(dāng)a=0時(shí)、當(dāng)0＜a＜2 時(shí)、當(dāng)a=2時(shí)、當(dāng)a＞2時(shí)四種情況，分別求得不等式f（x）＜0的解集．
（2）由題意結(jié)合（1）知0＜a＜2，而

1

2+a

∈（

1

4

，

1

2

），可得

1

2-a

∈（3，4]，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=[（2+a）x-1][（2-a）x-1]＜0，
故當(dāng)a=0時(shí)，不等式即（2x-1）（2x-1）＜0，它的解集為∅．
當(dāng)0＜a＜2 時(shí)，

1

2+a

＜

1

2-a

，不等式的解集為（

1

2+a

，

1

2-a

）．
當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為{x|x＞

1

2

}．
當(dāng)a＞2時(shí)，

1

2+a

＞

1

2-a

，不等式的解集為{x|x＞

1

2+a

，或 x＜

1

2-a

}．
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜0只有三個(gè)整數(shù)解，由（1）知0＜a＜2，而

1

2+a

∈（

1

4

，

1

2

），
∴

1

2-a

∈（3，4]，解得

5

3

＜a≤

7

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．