Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足（），且.

（1）求的解析式；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍（注：相等的實(shí)數(shù)根算一個(gè)）.

（3）函數(shù)，試問是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意， 都有成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)（），代入條件化簡并根據(jù)恒等式成立條件得， ， ，（2）研究二次方程根的情況，往往結(jié)合二次函數(shù)圖像，即轉(zhuǎn)化為研究直線與二次函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖像，根據(jù)圖像得實(shí)數(shù)的取值范圍（3）先將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值： ，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類討論函數(shù)最值，解對應(yīng)不等式，可得實(shí)數(shù)的取值范圍

試題解析：（1）設(shè)（）

代入得對于恒成立，故

又由得，解得， ， ，

所以

（2）由方程得，令， ，

即要求函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，

①，則，代入原方程得或，不合題意；

②若，則，代入原方程得或，滿足題意，故成立；

③若，則，代入原方程得，滿足題意，故成立.

④若且且時(shí)，由得.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

解法2：由方程得，即直線與函數(shù)， 的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)（參照給分）

（3）由題意知

假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，對任意， 都有成立，即，故有，

由，

①當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù)， ，所以

②當(dāng)時(shí)，

，即

解得，所以.

③當(dāng)時(shí)，

即解得，所以

③當(dāng)時(shí)，

即，所以

綜上所述，

所以當(dāng)時(shí)，使得對任意， 都有成立