Question

【題目】由數(shù)字1，2，…，6構(gòu)成的且含有1，6相鄰的n位數(shù)有多少個?

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)所求的n位數(shù)有個.

記個數(shù)中首位數(shù)字是1的有個.

在每一個中交換1和6的位置得個數(shù)中首位數(shù)字是6的也有個.

個數(shù)可分三類：

（1）個數(shù)中首位數(shù)字是1的n位數(shù)，這樣的數(shù)有個.

（2）個數(shù)中首位數(shù)字是6的n位數(shù)，這樣的數(shù)有個.

（3）個數(shù)中首位數(shù)字是2、3、4、5之一的n位數(shù)，這樣的數(shù)的后位數(shù)，共有個.

故. ①

而個數(shù)中首位數(shù)字是1的n位數(shù)也可分三類：

（1）第二位是6的n位數(shù)，這些數(shù)的后n-2位上的數(shù)字可以是1，2，…，6中的任意一個，共有個；

（2）第二位仍是1的n位數(shù)，這些數(shù)從第二位起的后n-1位上的數(shù)字是由數(shù)字1，2，…，6構(gòu)成的首位數(shù)字是1且含有1、6相鄰的n-1位數(shù)，共有個；

（3）第二位是2、3、4、5之一的且含有1、6相鄰的n位數(shù)，這些數(shù)的后n-2位是由數(shù)字1，2，…，6構(gòu)成的且含有1、6相鄰的數(shù)，共有個.

故. ②

由式①、②得

.

又，從而，

.

令.則

，

其中，.

故.

再令.于是，

.

則.

故.