Question

如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，點E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點．
（1）求證：直線EF∥面ACD；
（2）求證：平面EFC⊥面BCD；
（3）若面ABD⊥面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱錐B-ADC的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，由三角形的中位線定理，我們易得EF∥AD，再由線面平行的判定定理即可得到直線EF∥面ACD；
（2）由已知中CB=CD，F(xiàn)是BD的中點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得CF⊥BD，又由AD⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面EFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面EFC⊥面BCD；
（3）若面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥面BCD，再由AD=BD=BC=1，我們計算出三棱錐B-ADC即三棱錐A-BCD的底面積和高，代入棱錐體積公式，即可求出答案．

解答：證明：（1）∵EF是△BAD的中位線
所以EF∥AD（2分）
又EF?平面ACD，AD?平面ACD
∴EF∥平面ACD（4分）
（2）∵EF∥AD，AD⊥BD
∴BD⊥EF，
又∵BD⊥CF∴BD⊥面CEF，
又BD?面BDC
∴面EFC⊥面BCD（10分）
（3）因為面ABD⊥面BCD，且AD⊥BD
所以AD⊥面BCD
由BD=BC=1和CB=CD得△BCD是正三角形
所以S△BCD=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

VB-ACD=VA-BCD=

1

3

S△BCD•AD=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積及直線與平面平行的判定，熟練掌握空間線、面垂直及平行的判定定理，并善于利用等腰三角形及勾股定理尋找線線垂直的條件，是解答本題的關(guān)鍵．