Question

18．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F₁傾斜角為45°的直線l與E相交于A，B兩點，且|AB|=$\frac{4a}{3}$
（Ⅰ）求E的離心率
（Ⅱ）設(shè)點P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得直線l的方程為：y=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4a}{3}$，化簡即可得出．
（II）設(shè)線段AB的中點M（x₀，y₀）．可得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2c}{3}$．y₀=x₀+c．根據(jù)點P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，可得PM⊥AB，k_PM•k_AB=-1，解得c．a(chǎn)²=b²+c²=2b²，解得b，a．

解答 解：（I）由題意可得直線l的方程為：y=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+b²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{c}^{2}{a}^{4}}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}-\frac{4（{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}]}$=$\frac{4a}{3}$，
化為：a²=2b²．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）設(shè)線段AB的中點M（x₀，y₀）．
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=-$\frac{2c}{3}$．y₀=x₀+c=$\frac{1}{3}$c．
∵點P（0，-1）滿足|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
∴k_PM•k_AB=$\frac{-1-\frac{1}{3}c}{0+\frac{2c}{3}}$×1=-1，解得c=3．
∴a²=b²+c²=2b²，解得b=c=3，a²=18．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．