Question

函數(shù)f（x）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）的值，并證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）若f（1）=-2且關(guān)于x的不等式f（x²-x+k）＜4恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法求出f（0）的值，然后結(jié)合奇函數(shù)的定義證明該函數(shù)的奇偶性；
（2）結(jié)合單調(diào)性的定義證明；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)果構(gòu)造出x的不等式，然后利用不等式恒成立的證明思路，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．

解答： 解：（1）令x=y=0得f（0）=0．
令y=-x代入原式得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），故該函數(shù)是奇函數(shù)．
（2）由已知得f（x+y）-f（x）=f（y）=f[（x+y）-x]．
所以任取x₂＞x₁，則
f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因?yàn)閤₂-x₁＞0且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0，
所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁），
故該函數(shù)在R上是減函數(shù)．
（3）因?yàn)閒（1）=-2，所以f（-1）=-f（1）=2，所以f（-2）=2f（-1）=4．
所以原不等式可化為：f（x²-x+k）＜f（-2）．
結(jié)合（2）知，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
所以x²-x+k＞-2恒成立．
即k＞-x²+x-2=-（x-

1

2

）²+

9

4

恒成立．
所以只需k＞

9

4

即可．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷方法以及不等式恒成立問題的解題思路．屬于能力題，需仔細(xì)體會(huì)與總結(jié)．