Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

3

+y²=1．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m）．
（Ⅰ）求證：mk=1
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|•|OE|，
（i）求證：直線l過定點(diǎn)；
（ii）試問點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為y=kx+t（k＞0），由

y=kx+t x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能證明mk=1．
（Ⅱ）（i）證明：由（I）知OD的方程為y=-

1

3k

x，代入橢圓C的方程，得G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)，又E(-

3k

3k2+1

，

t

3k2+1

)，D(-3，

1

k

)，由距離公式及t＞0能證明直線l恒過定點(diǎn)（-1，0）．
（ii）由G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)得若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則B(-

3k

3k2+1

，-

1

3k2+1

)．結(jié)合已知條件求出B(-

3

2

，-

1

2

)，G(-

3

2

，

1

2

)關(guān)于x軸對(duì)稱．由此能求出△ABG的外接圓方程．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+t（k＞0），
由題意，t＞0．
由方程組

y=kx+t x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
由題意△＞0，
所以3k²+1＞t²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-

6kt

3k2+1

，
所以y₁+y₂=

2t

3k2+1

．
由于E為線段AB的中點(diǎn)，
因此x_E=

3kt

3k2+1

，yE=

t

3k2+1

，
此時(shí)k_OE=

yE

xE

=-

1

3k

．
所以O(shè)E所在直線方程為y=-

1

3k

x，
又由題設(shè)知D（-3，m），
令x=-3，得m=

1

k

，
即mk=1，
（Ⅱ）（i）證明：由（I）知OD所在直線的方程為y=-

1

3k

x，
將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，
解得G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)
又E(-

3k

3k2+1

，

t

3k2+1

)，D(-3，

1

k

)，
由距離公式及t＞0得：

|OG|2=(- 3k 3k2+1 )2+( 1 3k2+1 )2= 9k2+1 3k2+1 ， |OD|= (-3)2+( 1 k )2 = 9k2+1 k ， |OE|= (- 3kt 3k2+1 )2+( t 3k2+1 )2 = t 9k2+1 3k2+1 ，

由|OG|²=|OD|•|OE|得t=k，
因此，直線l的方程為y=k（x+1）．
所以，直線l恒過定點(diǎn)（-1，0）．
（ii）解：由（i）得G(-

3k

3k2+1

，

1

3k2+1

)
若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，
則B(-

3k

3k2+1

，-

1

3k2+1

)．
代入y=k（x+1）整理得3k²-1=k

3k2+1

，
即6k⁴-7k²+1=0，
解得k²=

1

6

（舍去）或k²=1，
所以k=1，
此時(shí)B(-

3

2

，-

1

2

)，G(-

3

2

，

1

2

)關(guān)于x軸對(duì)稱．
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以A（0，1）．
由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上，
設(shè)△ABG的外接圓的圓心為（d，0），
因此d2+1=(d+

3

2

)2+

1

4

，解得d=-

1

2

，
故△ABG的外接圓的半徑為r=

d2+1

=

5

2

，
所以△ABG的外接圓方程為(x+

1

2

)2+y2=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩數(shù)乘積為1的證明，考查直線過定點(diǎn)的證明，考查三角表外接圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．