Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，．
（1）求證：AB⊥平面PAD；
（2）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明線面垂直；
（2）先作出面面角，并給予證明，再計算其余弦值即可．
解答：（1）證明：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD；
（2）設(shè)AD的中點為O，PD的中點為M，連接OC，OM，CM

∵PA=PD=2，∴PO⊥AD
在直角梯形ABCD中，BC∥AD，
∴OC⊥AD，AO=OD=
∴PO=OD=
∴OM⊥PD
∵Rt△POD≌Rt△POC
∴PO=PC-CD=2
∴CM⊥PD
∴∠OMC為二面角A-PD-C的平面角
∵AB⊥AD，OC∥AB
∴OC⊥OM
∵OM=1，CM=
∴cos∠OMC==
∴二面角A-PD-C的余弦值為．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的性質(zhì)，正確作出面面角，屬于中檔題．