Question

【題目】已知函數（且），

（1）討論的奇偶性與單調性；

（2）求的反函數；

（3）若，解關于x的不等式．

Answer 1

【答案】(1)奇函數，當時，單調遞增，當時，單調遞減；(2)；(3)見解析.

【解析】

(1)根據函數奇偶性的定義可判斷出函數的奇偶性；再根據函數單調性的定義并對底數分類討論，可判斷出在上的單調性；

(2)根據反函數的求法直接求解即可；

(3)根據可求出的值，進而可求出的值域，然后對分類討論即可求出不等式的解集.

(1)由，解得，所以函數的定義域為，關于原點對稱.

因為，

所以函數是奇函數.

對任意的，且，則

，

因為，

所以，所以，

①當時，，所以，即，

此時函數是上的單調減函數；

②當時，，所以所以，即，

此時函數是上的單調增函數.

(2)令，

所以，

所以，所以.

(3)因為，即，解得，

所以，所以，

所以當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為；

當時，不等式的解集為.