19.如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1.

    (Ⅰ)求橢圓的方程；

    (Ⅱ)若點(diǎn)P為l上的動點(diǎn)，求∠F1PF2最大值.

19.本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為　（a＞b＞0）,半焦距為c，則

｜MA1｜＝－a,|A1F1|＝a－c,

解得a=2,b=,c=1.

故橢圓方程為.

(Ⅱ)設(shè)P（－4，y0）,y0≠0，

則直線PF1的斜率k1=－,直線PF2的斜率k2=－.

∵0＜∠F1PF2＜∠PF1M＜.

∴∠F1PF2為銳角。

∴tan∠F1PF2=||=

            ≤。

當(dāng)｜y0｜=,即y0=±時，

tan∠F1PF2取到最大值，此時∠F1PF2基大，

故∠F1PF2的最大值為arctan.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l1：x=m（|m|＞1），P為l1上的動點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用m表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)|AB|=
12
5
2
時，求m的值；
（3）若直線l不過點(diǎn)M，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)為A（0，
2
），且離心率為
3
2
．
（ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）過點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N在線段PQ上．設(shè)
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ，試求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)（A、B與M不重合）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)MA⊥MB時，求m的值．

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