Question

在正三角形ABC中，E、F分別是AB、AC邊上的點，滿足

AE

EB

=

CF

FA

=

1

2

（如圖1）．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B、A₁C． （如圖2）求證：A₁E⊥平面BEC．

Answer 1

分析：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3，在圖1中取BE中點D，連接DF，根據(jù)

AE

EB

=

CF

FA

=

1

2

，求出AE=1，AF=2而∠A=60°，EF⊥AE，在圖2中有A₁E⊥EF，BE⊥EF，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角，而二面角A₁-EF-B為直二面角，則A₁E⊥BE
又BE∩EF=E，滿足線面垂直的判定定理，則A₁E⊥平面BEC．

解答：證明：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3，則
在圖1中，取BE中點D，連接DF，
則∵

AE

EB

=

CF

FA

=

1

2

，
∴AE=1，AF=2而∠A=60°，∴EF⊥AE
∴在圖2中有A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角
∵二面角A₁-EF-B為直二面角，∴A₁E⊥BE
又∵BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEC．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的應(yīng)用等有關(guān)知識，同時考查了空間想象能力、推理論證能力，屬于中檔題．