Question

甲、乙、丙三名音樂(lè)愛好者參加某電視臺(tái)舉辦的演唱技能海選活動(dòng)，在本次海選中有合格和不合格兩個(gè)等級(jí)．若海選合格記1分，海選不合格記0分．假設(shè)甲、乙、丙海選合格的概率分別為

2

3

， 

3

4

， 

1

2

，他們海選合格與不合格是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）求在這次海選中，這三名音樂(lè)愛好者至少有一名海選合格的概率；
（Ⅱ）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂(lè)愛好者所得分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“甲海選合格”為事件A，“乙海選合格”為事件B，“丙海選合格”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名海選合格”為事件E．利用對(duì)立事件的計(jì)算公式能求出結(jié)果．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3．分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）記“甲海選合格”為事件A，“乙海選合格”為事件B，
“丙海選合格”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名海選合格”為事件E．
則P(E)=1-P(

.

A

.

B

.

C

)=1-

1

3

×

1

4

×

1

2

=

23

24

．（4分）
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=P(

.

A

.

B

.

C

)=

1

24

，
P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=

6

24

，
P(ξ=2)=P(AB

.

C

)+P(A

.

B

C)+P(

.

A

BC)=

11

24

，
P(ξ=3)=P(ABC)=

6

24

．
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 24	6 24	11 24	6 24

Eξ=0×

1

24

+1×

6

24

+2×

11

24

+3×

6

24

=

23

12

．                   （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．