Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x²－mlnx，g(x)＝x²－x＋a.

(1)  當a＝0時，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)  當m＝2時，若函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由a＝0，f(x)≥g(x)可得－mln x≥－x

x∈(1,＋∞)，即m≤，記φ(x)＝，

則f(x)≥g(x)在(1，＋∞)上恒成立等價于m ≤φ(x)_min.

求得φ′(x)＝

當x∈(1,e)時, φ′(x)<0; 

當x∈(e,＋∞)時, φ′(x)>0.

故φ(x)在x＝e處取得極小值，也是最小值，即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.

所以，實數(shù)m的取值范圍為;(- ¥,e]

(2)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點

等價于方程x－2ln x＝a,在[1,3]上恰有兩個相異實根．

令k(x)＝x－2ln x，則k′(x)＝1－.

當x∈[1,2)時，k′(x)<0；

當x∈(2,3]時，k′(x)>0，

∴k(x)在[1,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,3]上是單調(diào)遞增

函數(shù)．故k(x)min＝k(2)＝2－2ln 2，

又k(1)＝1，k(3)＝3－2ln 3，

∵k(1)>k(3)，∴只需k(2)<a≤k(3)，

故a的取值范圍是(2－2ln 2,3－2ln 3]．