Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，
∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

令f'（x）=0，得x=a．
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)最小值．
②若0＜a＜e，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（a，e]時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值lna
③若a≥e，則f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值

a

e

．
．綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上無(wú)最小值；
當(dāng)0＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為lna；
當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為

a

e

．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）^′e^x+（lnx-1）（e^x）^′+1=

ex

x

+(lnx-1)ex+1=(

1

x

+lnx-1)ex+1．
由（1）可知，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

x

+lnx-1．
此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0．（10分）
當(dāng)x₀∈（0，e]，ex0＞0，

1

x0

+lnx0-1≥0，
∴g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g'（x₀）=0有實(shí)數(shù)解．（13分）
而g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0無(wú)實(shí)數(shù)解．、故不存在x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直．