已知f(x)=4msinx-cos2x(x∈R).
(1)若m=0,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若f(x)的最大值為3,求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】
分析:(1)把m=0代入函數(shù)解析式,進(jìn)而利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(2)利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理,然后令t=sinx,進(jìn)而可推斷出g(t)=2(t+m)
2-(2m
2+1),進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對m進(jìn)行分類討論,根據(jù)m的范圍確定二次函數(shù)的開口方向和函數(shù)的最大值,求得m.
解答:解:(1)當(dāng)m=0時(shí),f(x)=-cos2x,
令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181038466246813/SYS201310241810384662468016_DA/0.png)
.
因此f(x)=-cos2x的單調(diào)增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181038466246813/SYS201310241810384662468016_DA/1.png)
.
(2)f(x)=4msinx-cos2x=2sin
2x+4msinx-1=2(sinx+m)
2-(2m
2+1)
令t=sinx,則g(t)=2(t+m)
2-(2m
2+1)(-1≤t≤1).
①若-m≤0,則在t=1時(shí),g(t)取最大值1+4m.
由
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,得
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;
②若-m>0,則在t=-1時(shí),g(t)取最大值1-4m.
由
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,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181038466246813/SYS201310241810384662468016_DA/5.png)
;
綜上,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181038466246813/SYS201310241810384662468016_DA/6.png)
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點(diǎn)評:本題主要考查 了三角函數(shù)的最值,二次函數(shù)的性質(zhì).考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.