Question

【題目】已知函數與函數的圖像有兩個不同的交點， ，且.

（1）求實數的取值范圍；

（2）證明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）函數與函數的圖象有兩個不同的交點等價于；方程有兩個不同的根，設，利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象可得出實數的取值范圍；（2）根據（1）可知，

設利用導數可得在上單調遞增，當時， ，即，所以，從而可得結論.

試題解析：（1）根據題意，方程有兩個不同的根，

設，則，

根據，所以在上單調遞增；

，所以在上單調遞減.

所以時， 取得極小值.

又因為時， ， ，作出的大致圖像如圖所示，

所以.

（2）根據（1）可知，

設 ，

則.

設，則，

根據，則在上單調遞減，所以當時， ，

所以，所以在上單調遞增，

則當時， ，即，所以，

又因為在上單調遞增，所以，即.