Question

定義在x∈[-e，0）上的函數(shù)f（x）=ax-ln（-x），是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值為3，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，分a≥0，a＜0兩種情況討論求得最小值，令其等于3解出a．a(chǎn)≥0時由單調(diào)性可求最小值，a＜0時再分

1

a

≤-e，-e＜

1

a

＜0兩種情況討論可求最小值．

解答： 解：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-

4

e

，舍去；
②當a＜0時，f′（x）=

a(x- 1 a )

x

，
若

1

a

≤-e即-

1

e

≤a＜0時，f′（x）≥0，f（x）遞增，
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-1=3，解得a=-

4

e

，舍去；
若-e＜

1

a

＜0，即a＜-

1

e

時，f（x）在[-e，

1

a

）上遞減，在（

1

a

，0）上遞增，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln（-

1

a

）=3，解得a=-e²，
∴存在實數(shù)a=-e²滿足題意．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力．