Question

學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉一個例子．
甲：由“若三角形周長為l，面積為S，則其內(nèi)切圓半徑r=

2S

l

”類比可得“若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r=

3V

S

”；
乙：由“若直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則其外接圓半徑r=

a2+b2

2

”類比可得“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a，b，c，則其外接球半徑r=

a2+b2+c2

3

”．
這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論判斷正確的是

 

．（請將序號填寫在橫線上）
①甲對，②乙對，③甲錯，④乙錯．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：計(jì)算題,推理和證明

分析：本題考查的知識點(diǎn)是類比推理，但歸納推理和類比推理的結(jié)論不一定正確，我們還要繼續(xù)進(jìn)一步證明結(jié)論，由此三棱錐的外接球半徑等于長方體的外接球半徑，可求得其半徑r=

a2+b2+c2

2

，因此，乙同學(xué)類比的結(jié)論是錯誤的．

解答： 解：甲的結(jié)論：若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球半徑r=

3V

S

”證明如下：
設(shè)三棱錐的四個面積分別為：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于內(nèi)切球到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×=

1

3

S×r
∴內(nèi)切球半徑r=

3V

S

甲同學(xué)的類比結(jié)論是正確的
而若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a、b、c
其外接球直徑等于棱長為a、b、c的長方體的對角線長
∴2r=

a2+b2+c2

∴r=

a2+b2+c2

2

≠

a2+b2+c2

3

故乙同學(xué)的類比結(jié)論是不正確的
故答案為：①④．

點(diǎn)評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．判斷一個推理過程是否是類比推理關(guān)鍵是看他是否符合類比推理的定義，即是否是由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程．