Question

（2013•江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a5=

1

2

，a₆+a₇=3，則滿足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整數(shù)n的值為

12

．

Answer 1

分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公比為q，由題意可得關(guān)于這兩個量的方程組，解之可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表達(dá)式，化簡可得關(guān)于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案．

解答：解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公比為q，
由題意可得

a1q4= 1 2 a1q5(1+q)=3

，解之可得：a₁=

1

32

，q=2，
故其通項(xiàng)公式為a_n=

1

32

×2n-1=2^n-6．
記T_n=a₁+a₂+…+a_n=

1 32 (1-2n)

1-2

=

2n-1

25

，
S_n=a₁a₂…a_n=2^-5×2^-4…×2^n-6=2^-5-4+…+n-6=2

(n-11)n

2

．
由題意可得T_n＞S_n，即

2n-1

25

＞2

(n-11)n

2

，
化簡得：2ⁿ-1＞2

1

2

n2-

11

2

n+5，即2ⁿ-2

1

2

n2-

11

2

n+5＞1，
因此只須n＞

1

2

n2-

11

2

n+5，即n²-13n+10＜0
解得

13- 129

2

＜n＜

13+ 129

2

，
由于n為正整數(shù)，因此n最大為

13+ 129

2

的整數(shù)部分，也就是12．
故答案為：12

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題．