Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

4

，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N⁺，t為常數(shù)）
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+3，C_n=

1

bnbn+1

（n∈N⁺），求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件求出數(shù)列的前3項(xiàng)，通過(guò)等比數(shù)列求出t即可．
（2）利用已知條件表示出b_n=log₂a_n+3，C_n=

1

bnbn+1

，然后利用裂項(xiàng)法求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得a2=S1+

t

16

=

1

4

+

t

16

，
S2=a1+a2=

1

2

+

t

16

，
a3=S2+

t

16

=

1

2

+

t

8

，…（3分）
因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，所以a22=a1a 3，即(

1

4

+

t

16

)2=

1

4

(

1

2

+

t

8

)，
解得t=±4．…（5分）
當(dāng)t=-4時(shí)，a₂=0（舍）．
當(dāng)t=4時(shí)，a2=

1

2

，此時(shí)公比q=

1 2

1 4

=2．所以t=4．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得a_n=

1

2

×2n-1=2^n-2，b_n=log₂a_n+3=n+1．
∵C_n=

1

bnbn+1

，
所以cn=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（10分）
所以Tn=c1+c2+…+cn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法裂項(xiàng)法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．