Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（0）=0．
（1）若b=-1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值和最小值；
（2）若b=-1，用定義證明該函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上具有單調(diào)性，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若b=-1，由條件求得函數(shù)f（x）=x² -x=(x-

1

2

)2-

1

4

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最值．
（2）若b=-1，由上可得f（x）=x² -x，再利用增函數(shù)的定義證明函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-

b

2

，函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上具有單調(diào)性，可得-

b

2

≥3 或-

b

2

≤-1，由此求得b的范圍．

解答： 解：（1）若b=-1，函數(shù)f（x）=x² -x+c，由f（0）=0，可得c=0，∴函數(shù)f（x）=x² -x=(x-

1

2

)2-

1

4

，
在區(qū)間[-1，3]上，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-

1

4

； 當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最大值為6．
（2）若b=-1，由上可得f（x）=x² -x，設(shè)x₂＞x₁＞1，則 f（x₂）-f（x₁）=x22-x12+x₁-x₂=（x₂+x₁）（x₂-x₁）-（x₂-x₁）
=（x₂-x₁） （x₂+x₁-1）．
由題設(shè)可得 x₂-x₁＞0，x₂+x₁-1＞0，∴（x₂-x₁） （x₂+x₁-1）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）由于函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-

b

2

，函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上具有單調(diào)性，
∴-

b

2

≥3 或-

b

2

≤-1，求得b≤-6 或b≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．