Question

已知圓C₁：（x+1）²+y²=8，點C₂（1，0），點Q在圓C₁上運動，QC₂的垂直平分線交QC₁于點P．
（Ⅰ） 求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ） 設M，N是曲線W上的兩個不同點，且點M在第一象限，點N在第三象限，若，O為坐標原點，求直線MN的斜率k；
（Ⅲ）過點且斜率為k的動直線l交曲線W于A，B兩點，在y軸上是否存在定點D，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出D的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

解（1）∵QC₂的垂直平分線交QC₁于P，
∴|PQ|=|PC₂|，
|PC₂|+|PC₁|=|PC₁|+|PQ|=|QC₁|=2＞|C₁C₂|=2，
∴動點P的軌跡是點C₁，C₂為焦點的橢圓．
設這個橢圓的標準方程是，
∵2a=2，2c=2，∴b²=1，
∴橢圓的標準方程是．
（Ⅱ）設M（a₁，b₁），N（a₂，b₂），
則a₁²+2b₁²=2，a₂²+2b₂²=2．
∵，
則a₁+2a₂=-2，b₁+2b₂=0，
∴，，
∴直線MN的斜率為．
（Ⅲ）直線l的方程為y=kx-，聯(lián)立直線和橢圓方程，得
，∴（1+2k²）x²-12kx-16=0，
由題意知，點S（0，-）在直線上，動直線l交曲線W于A、B兩點，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 ，
假設在y軸上存在定點D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，
則 ，
，
∵，
∴x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=
=-
==0．
∴，∴m=1，
所以，在y軸上存在滿足條件的定點D，點D的坐標為（0，1）．
分析：（I）由QC₂的垂直平分線交QC₁于P，知|PQ|=|PC₂|，動點P的軌跡是點C₁，C₂為焦點的橢圓．由此能夠求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設M（a₁，b₁），N（a₂，b₂），則a₁²+2b₁²=2，a₂²+2b₂²=2．由，a₁+2a₂=-2，b₁+2b₂=0，由此能求出直線MN的斜率．
（Ⅲ）直線l的方程為y=kx-，聯(lián)立直線和橢圓方程，得 ，整理得（1+2k²）x²-12kx-16=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ，假設在y軸上存在定點D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，，由此能夠求出D點坐標．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．