Question

已知函數(shù)f（x）=x²-|x+a|+1
（1）求函數(shù)的奇偶性；
（2）求函數(shù)的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²-|x+a|+1，x∈R，對a進行分類討論判斷奇偶性即可，
（2）解析式含有絕對值，分類討論將解析式具體化后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)定義域為R，
當a=0時，函數(shù)f（x）=x²-|x|+1
此時，f（-x）=（-x）²-|-x|+1=f（x），
f（x）為偶函數(shù)．
當a≠0時，f（a）=a^2_-2|a|+1，f（-a）=a²+1，
f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）①當x≥-a時，f（x）=x^2_-x+1-a=（x-

1

2

）²+

3

4

-a，
當-a≤

1

2

即a≥-

1

2

時，f（x）_min=

3

4

-a，
當-a＞

1

2

即a＜-

1

2

時，f（x）_min=f（-a）=a²+1，
②當x≤-a時，f（x）=x^2₊x+1+a=（x+

1

2

）²+

3

4

+a，
當-a≥-

1

2

即a≤

1

2

時，f（x）_min=

3

4

+a，
當-a＜-

1

2

即a＞

1

2

時，f（x）_min=f（-a）=a²+1，

點評：本題考察二次函數(shù)的含參討論問題，解析式中有絕對值，需要先討論去絕對值．