Question

3．若不等式$\frac{t}{{{t^2}+2}}≤μ≤\frac{t+2}{t^2}$，對(duì)任意的t∈（0，1]上恒成立，則μ的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{1}{13}，2}]$
• B． [$\frac{2}{13}$，1]
• C． $[{\frac{1}{6}，6}]$
• D． $[{\frac{1}{3}，3}]$

Answer 1

分析 根據(jù)題意分別構(gòu)造函數(shù)f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$、g（t）=$\frac{t+2}{{t}^{2}}$，對(duì)函數(shù)分別化簡(jiǎn)后，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出最大值、最小值，結(jié)合恒成立即可求出μ的范圍．

解答 解：設(shè)f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$，其中t∈（0，1]，
因?yàn)楹瘮?shù)y=$t+\frac{2}{t}$在（0，1]上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)y=$t+\frac{2}{t}$在（0，1]上的最小值是3，
即函數(shù)f（t）=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$在（0，1]上的最大值是$\frac{1}{3}$，
設(shè)g（t）=$\frac{t+2}{{t}^{2}}$=$\frac{1}{t}+\frac{2}{{t}^{2}}$，且t∈（0，1]，
設(shè)x=$\frac{1}{t}$，則x∈[1，+∞），函數(shù)g（t）變?yōu)椋簓=2x²+x，
因?yàn)楹瘮?shù)y=2x²+x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)y=2x²+x在[1，+∞）上最小值是3，
即$\frac{t+2}{{t}^{2}}$在（0，1]上的最小值是3，
因?yàn)?\frac{t}{{{t^2}+2}}≤μ≤\frac{t+2}{t^2}$對(duì)任意的t∈（0，1]上恒成立，
所以$\frac{1}{3}≤μ≤3$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查構(gòu)造法、換元法，轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力．