已知F1、F2分別為橢圓
x2
100
+
y2
64
=1的左、右焦點，橢圓內(nèi)一點M的坐標為（2，-6），P為橢圓上的一個動點，試分別求：
（1）|PM|+
5
3
|PF2|的最小值；
（2）|PM|+|PF2|的取值范圍．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）求出右準線，過點P作PN⊥l于點N，運用第二定義，可得PM|+
5
3
|PF2|=|PM|+|PN|，再由三點共線可得距離最短，即可得到所求值；
（2）運用橢圓的第一定義，|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20，再由有向線段
MF1
的延長線即可得到最值．
解答： 解：（1）橢圓右準線l：x=
50
3
，過點P作PN⊥l于點N，
如圖所示則由橢圓的第二定義知 
|PF2|
|PN|
=e=
3
5
，
于是|PN|=
5
3
|PF2|，所以|PM|+
5
3
|PF2|=|PM|+|PN|≥d（M，l），
其中d（M，l）表示點M到準線l的距離，
易求得：d（M，l）=
44
3

所以|PM|+
5
3
|PF2|的最小值為
44
3
（此時點P為過點M且垂直于l的線段與橢圓的交點）
（2）由橢圓的定義知|PF2|+|PF1|=2a=20，
故|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20
1?|PM|-|PF1|≤|MF1|=10，
故|PM|+|PF2|≤30（當且僅當P為有向線段
MF1
的延長線與橢圓的交點時取“=”）；
2?|PF1|-|PM|≤|MF1|=10，
故|PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（當且僅當P為有向線段
MF1
的反向延長線與橢圓的交點時取“=”）   
綜上可知，|PM|+|PF2|的取值范圍為[10，30]．
點評：本題考查橢圓的方程、定義和性質(zhì)，注意運用橢圓的兩個定義，以及兩點之間線段最短，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次性隨機摸出2只球，則恰好有1只是白球的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點F為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點，若橢圓上存在點A使△AOF為正三角形，那么橢圓的離心率為（　�。�
A、
2
2
B、
3
2
C、
3
-1
2
D、
3
-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，CD=PD，∠ADP=90°，∠CDP=120°，E，F(xiàn)，G分別為PB，BBC，AP的中點．
（Ⅰ）求證：平面EFG∥平面PCD；
（Ⅱ）若CD=PD=2，求三棱錐E-CDF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
n
=1的離心率不小于
3
，則該雙曲線的焦點到漸近線的最小距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分別是BC、AB的中點，P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點，則
AD
•
EP
的取值范圍是（　　）
A、[-7，7]
B、[-8，8]
C、[-9，9]
D、[-10，O]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2xlog2e-2lnx-ax+3的一個極值點在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（1，3）
B、（1，2）
C、（0，3）
D、（0，2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
滿足
a
•(2
b
-
a
)=1，且|
a
|=1，
b
=（
3
，1），則
a
與
b
的夾角為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校舉行演講比賽，9位評委給選手A打出的分數(shù)如莖葉圖所示，統(tǒng)計員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發(fā)現(xiàn)有一個數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若統(tǒng)計員計算無誤，則數(shù)字x應該是
 
．

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