Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）若不等式|f（x）|＜2的解集為，求a的值；
（2）（文）設(shè)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），若關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范圍．
（3）（理）設(shè)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），若，解關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）．

Answer 1

解：（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，得
f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=（-1＜x＜1）
令t=，得
故t在區(qū)間（-1，1）上是關(guān)于x的單調(diào)增函數(shù)，
不等式|f（x）|＜2的解集為，分兩種情況加以討論：
①當(dāng)a＞1時，
∴l(xiāng)og_a-log_a=-2??
②當(dāng)0＜a＜1時，，類似①的方法可得
綜上所述，得實數(shù)a的值為或；
（2）∵?
∴f^-1（x）==1-
∵1+a^x＞1
∴
欲使關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必須大于f^-1（x）的最小值，所以m≥-1
故m的取值范圍是[-1，+∞）．
（3）由（2）得?a=2，
對于關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m，由（2）知的f^-1（x）的值域為（-1，1）
故分3種情形加以討論：
①當(dāng)m≥1時，有f^-1（x）＜1≤m，所以f^-1（x）＜m恒成立，得不等式的解集是R；
②當(dāng)-1＜m＜1，f^-1（x）＜m?1-＜m??
∴不等式的解集是x∈（-∞，）
由（2）知不等式f^-1（x）＜m的解集是空集．
綜上所述：當(dāng)m≤-1時原不等式的解集是空集，當(dāng)-1＜m＜1時原不等式的解集是x∈（-∞，）；當(dāng)m≥1時，原不等式的解集是R．
分析：（1）根據(jù)題意，用對數(shù)的運(yùn)算法則將函數(shù)化為，然后將真數(shù)對應(yīng)的函數(shù)用求導(dǎo)數(shù)的方法討論其單調(diào)性，得出真數(shù)是關(guān)于x的增函數(shù)．最后分a＞1和0＜a＜1兩種情況對原不等式的解集加以討論，從而可以得出實數(shù)a的值；
（2）用解方程的方法，將x用y來表示，從而得出函數(shù)f^-1（x）的表達(dá)式，再討論得其值域為（-1，1），欲使關(guān)于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，m必須大于f^-1（x）的最小值，從而得到m≥-1；
（3）先解方程，得到a=2，從而得到函數(shù)f^-1（x）的表達(dá)式，再結(jié)合（2）的函數(shù)值域的結(jié)果，可以分：①當(dāng)m≥1時，②當(dāng)-1＜m＜1，③當(dāng)m≤-1時，三種情況下討論不等式f^-1（x）＜m的解集情況，最后綜合可得答案．
點(diǎn)評：本題以對數(shù)型復(fù)合函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域、反函數(shù)和不等式的解法等等知識點(diǎn)，屬于難題．本題的綜合性較強(qiáng)，在解題時注意分類討論與轉(zhuǎn)化化歸思路的適時恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用．