Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，點(diǎn)在上．

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題第一問(wèn)應(yīng)用空間的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)換，應(yīng)用線面垂直得出線線垂直的

關(guān)系，第二問(wèn)根據(jù)所給的二面角的大小，結(jié)合空間向量，從而確定出

點(diǎn)的位置，再用空間向量確定出線面角的正弦值．

試題解析：（Ⅰ）如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以四邊形為平行四邊形，

故，又，

所以，故，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

且，所以平面，故有分

（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

則，

設(shè)，易得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

令得，即．

又平面的一個(gè)法向量為，

由題知，解得，

即，而是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成的角為，則．

故直線與平面所成的角的正弦值為．分