Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點O是正方形ABCD對角線的交點，AA₁=4，AB=2，點E，F(xiàn)分別在CC₁和A₁A上，且A₁F=CE
（Ⅰ）求證：B₁F∥平面BDE
（Ⅱ）若A₁O⊥BE，求CE的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角A₁-BE-O的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BE₁=CE，連結(jié)EE₁和AE₁，由已知得四邊形AE₁ED為平行四邊形，由此能證明B₁F∥平面BDE．
（Ⅱ）以A為原點，AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出CE的長．
（Ⅲ）求出平面OBE的一個法向量，和平面A₁BE的一個法向量，利用向量法能求出二面角A₁-BE-O的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取BE₁=CE，連結(jié)EE₁和AE₁，
∴EE₁=BC，EE₁∥BC，BC=AD，BC∥AD，
∴EE₁=AD，EE₁∥AD，∴四邊形AE₁ED為平行四邊形，
∴AE₁∥DE，在矩形A₁ABB₁中，A₁F=BE₁，
∴四邊形B₁FAE₁為平行四邊形，∴B₁F∥AE₁，B₁F∥DE．
∵DE?平面BDE，B₁F?平面BDE，∴B₁F∥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）解：以A為原點，AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系．
C（0，2，0），A₁（2，0，4），O（1，1，0），B（2，2，0），設(shè)E（0，2，t），

A1O

=（-1，1，-4），

BE

=（-2，0，t），
∵A₁O⊥BE，∴

A1O

•

BE

=2-4t=0，解得t=

1

2

，
∴CE=

1

2

．（8分）
（Ⅲ）解：B（2，2，0），E（0，2，

1

2

），A₁（2，0，4），O（1，1，0）．

A1O

=（-1，1，-4），

DB

=（2，2，0），
∴

A1O

•

DB

=-2+2+0=0，∴

A1O

⊥

DB

，
又A₁O⊥BE，∴

OA1

=（-1，1，-4）為平面OBE的一個法向量，
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面A₁BE的一個法向量，
∵

A1B

=（0，2，-4），

A1E

=（-2，2，-

7

2

），
則

n • A1B =2y-4z=0 n • A1E =-2x+2y- 7 2 z=0

，
令z=4，得

n

=（1，8，4），
∴cos＜

n

，

OA1

＞=

-1+8-16

18 • 81

=-

2

6

，
∵二面角A₁-BE-O的平面角為銳角，
∴二面角A₁-BE-O的余弦值為

2

6

． （12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．