Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1），檢驗(yàn)。

（2）將恒成立轉(zhuǎn)換為最值問(wèn)題，求最小值大于等于0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)討論a的范圍求出a的具體范圍。

（3）等價(jià)變形為利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明。

（1）因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，故，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)得是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以.

（2）因?yàn)?/span>在上恒成立，所以。

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上為增函數(shù)

所以成立，即為所求。

當(dāng)時(shí)，令，則，令則

即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，這與矛盾.綜上所述，的取值范圍是。

（3）要證，只需證。兩邊取自然對(duì)數(shù)得，，上式等價(jià)于，只需要證明，只需要證明，由時(shí)，在單調(diào)遞增。

又，，，從而原命題成立.