Question

13．在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A=2B，試求$\frac{a}$的取值范圍$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 由題意和內(nèi)角和定理表示出C，由銳角三角形的條件列出不等式組，求出B的范圍，由正弦定理和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)$\frac{a}$，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出答案．

解答 解：∵A=2B，A+B+C=π，∴C=π-3B，
∵△ABC是銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2B＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$，
由正弦定理得，$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$
=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
由$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{4}$得，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜$ cosB $＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\sqrt{2}＜\frac{a}＜\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}$的取值范圍是$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，
故答案為：$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，二倍角的正弦公式，內(nèi)角和定理，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡(jiǎn)、變形能力．