Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-

1

2

+

1

2x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）奇函數(shù)定義域?yàn)镽則f（0）=0，求得a=1；（2）將a=1代入f（x）化簡，先做出判斷然后用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0化為9^x-（k+1）3^x+2＞0對任意x∈R恒成立，解恒成立問題求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

2

+

1

2x+a

是奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，則f（0）=0，
即-

1

2

+

1

1+a

=0，則a=1．
（2）由（1）可得f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

，函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)．
證明：任取兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

-（-

1

2

+

1

2x2+1

）
=

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，
∴2 x2-2 x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)．
（3）∵f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＞0，
∴f（k3^x）＞-f（3^x-9^x-2），
又∵函數(shù)在定義域R上為奇函數(shù)，
∴f（k3^x）＞f（-3^x+9^x+2），
∵函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，
∴k3^x＜-3^x+9^x+2，
即9^x-（k+1）3^x+2＞0對任意x∈R恒成立，
令3^x=t（t＞0），
原式即為t²-（k+1）t+2＞0對于任意t＞0恒成立，
即（k+1）t＜t²+2．
∵t＞0，
∴k+1＜

t2+2．

t

，
∴k＜t+

2

t

-1=2

t× 2 t

-1=2

2

-1，
實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2

2

-1）

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵在于熟練的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化．