Question

【題目】為豐富市民的文化生活，市政府計劃在一塊半徑為200m，圓心角為的扇形地上建造市民廣場，規(guī)劃設(shè)計如圖：內(nèi)接梯形區(qū)域為運動休閑區(qū)，其中A，B分別在半徑，上，C，D在圓弧上，

；上，；區(qū)域為文化展區(qū)，長為，其余空地為綠化區(qū)域，且長不得超過200m.

(1)試確定A，B的位置，使的周長最大？

(2)當(dāng)的周長最長時，設(shè)，試將運動休閑區(qū)的面積S表示為的函數(shù)，并求出S的最大值.

Answer 1

【答案】（1）、都為50m；（2）；；最大值為.

【解析】

對于（1），設(shè)，，m，，在△OAB中，利用余弦定理可得，整理得，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論；

對于（2），當(dāng)△AOB的周長最大時，梯形ACBD為等腰梯形，過O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，則E、F分別為AB，CD的中點，利用已知可表示出相關(guān)線段；然后利用梯形的面積公式可知， ，，令，，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出S的最大值。

解：（1）設(shè)，，m，，

在中，，

即.

所以.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，

此時周長取得最大值.

答：當(dāng)、都為50m時，的周長最大.

（2）當(dāng)的周長最大時，梯形為等腰梯形.

如上圖所示，過O作交于F，交于E，則E、F分別為、的中點，

所以.由，得.

在中，，.

又在中，，故.

所以

，.

令，，

，.

又及在上均為單調(diào)遞減函數(shù)，

故在上為單調(diào)遞減函數(shù).

因，故在上恒成立，

于是，在上為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時，有最大值，此時S有最大值為.

答：當(dāng)時，梯形面積有最大值，且最大值為.