Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線(xiàn)A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（Ⅱ）證明：平面ABM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線(xiàn)及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題

分析：（1）由于C₁D₁∥B₁A₁故根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義可知∠MA₁B₁為異面直線(xiàn)A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可．
（Ⅱ）可根據(jù)題中條件計(jì)算得出A₁B₁⊥BM，BM⊥B₁M然后再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證．

解答： 解：（1）如圖，因?yàn)镃₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁為異面直線(xiàn)A₁M和C₁D₁所成的角，
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁
∴∠A₁B₁M=90°
∵A₁B₁=1，B₁M=

2

∴tan∠MA₁B₁=

2

即異面直線(xiàn)A₁M和C₁D₁所成的角的正切值為

2

．
（Ⅱ）∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，BM?面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BM①
由（1）知B₁M=

2

，BM=

2

，B₁B=2
∴BM⊥B₁M②
∵A₁B₁∩B₁M=B₁
∴由①②可知BM⊥面A₁B₁M
∵BM?面ABM
∴平面ABM⊥平面A₁B₁M．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線(xiàn)所成角的定義以及面面垂直的證明，屬�？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是要掌握異面直線(xiàn)所成角的定義（即將異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)所成的角）和面面垂直的判定定理．