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6.已知方程x2+(b-1)x+a2=0(b≥0)有解,求12a-b的取值范圍.

分析 根據(jù)方程有解列出不等式,分情況討論列出約束條件,根據(jù)可行域得出最優(yōu)解.

解答 解:∵方程x2+(b-1)x+a2=0(b≥0)有解,
∴(b-1)2-4a2≥0.即(b-1)2≥4a2
{b12a2a0b10b0,或{b12a2a0b10b0{b12a2a0b10b0{b12ab102a0b0
令z=12ab,則b=12az
(1)若{b12a2a0b10b0,作出可行域如圖:

由可行域可知當直線b=12az經(jīng)過點(0,1)時截距-z最小,即z最大.
∴z的最大值為12×0-1=-1.∴z≤-1.
(2)若{b12a2a0b10b0,作出可行域如圖:

由可行域可知當直線b=12az經(jīng)過點(0,1)時截距-z最大,即z最小,
當直線b=12az經(jīng)過點(0,0)時截距-z最小,即z最大.
∴z的最小值為12×0-1=-1.z的最大值為12×00=0.
∴-1≤z≤0.
(3)若{b12a2a0b10b0,作出可行域如圖:

由(1)可知z≤-1.
(4)若{b12ab102a0b0,作出可行域如圖:

由可行域可知當直線b=12az經(jīng)過點(0,1)時截距-z最大,即z最小,
當直線b=12az經(jīng)過點(12,0)時截距-z最小,即z最大.
∴z的最大值為12×120=14,z的最小值為12×01=-1.
∴-1≤z≤14
綜上,12ab的取值范圍是(-∞,14].

點評 本題考查了線性規(guī)劃,分類討論思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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