Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-4）=-f（x），在[0，2]上f（x）是增函數(shù)，則下列結(jié)論：①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，則f（x₁）+f（x₂）＞0；②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，則f（x₁）＞f（x₂）；③若方程f（x）=m在[-8，8]內(nèi)恰有四個(gè)不同的角x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=±8，其中正確的有（ ）
A．0個(gè)
B．1個(gè)
C．2個(gè)
D．3個(gè)

Answer 1

【答案】分析：由條件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），說明此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)，
由這些畫出示意圖，由圖可解決問題．
解答：解：此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)，
綜合條件得函數(shù)的示意圖，由圖看出，
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，則f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂）；，則f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正確；
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，由圖可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正確；
③四個(gè)交點(diǎn)中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×（-6），
另兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2×2，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=-8．故③正確；
故選D．
點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．