Question

已知拋物線C：y  2=4x的準線與x軸交于M點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（Ⅰ）若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在這樣的k，使得拋物線C上總存在點Q（x₀，y₀）滿足QA⊥QB，若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）記A點到準線距離為d，直線l的傾斜角為α，由拋物線的定義知|AM|=

5

4

d，cosα=±

d

|AM|

=±

4

5

，即可得出．
（II）設點Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線與拋物線方程聯(lián)立可得ky²-4y+4k=0，由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，利用斜率計算公式可得k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

4

y0+y1

，同理k_QB=

4

y0+y2

，由于由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1．化簡可得

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：（I）記A點到準線距離為d，直線l的傾斜角為α，
由拋物線的定義知|AM|=

5

4

d，
∴cosα=±

d

|AM|

=±

4

5

，
∴k=tanα=±

3

4

．
（2）設點Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，
由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，
k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y 2 0 4 - y 2 1 4

=

4

y0+y1

，同理k_QB=

4

y0+y2

，
由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1．
即：

y

2 0

+y0(y1+y2)+y1y2=-16，
∴

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，
△=(

4

k

)2-80≥0，
得-

5

5

≤k≤

5

5

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范圍為[-

5

5

，0)∪(0，

5

5

]．

點評：本題考查了拋物線的定義及其性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系及其判別式的關系、直線垂直與斜率的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．